Algèbre, analyse et arithmétique des nombres entiers

Si l'algèbre est la branche des mathématiques consacrée à l'étude des ensembles structurés à partir d'opérations élémentaires (addition, multiplication, multiplication scalaire...), l'arithmétique est celle qui se préoccupe de la connaissance la plus approfondie possible des nombres entiers, c'est-à-dire de l'anneau qu'ils constituent.

La difficulté des problèmes soulevés par diverses questions concernant les nombres entiers requiert tout à la fois une approche algébrique et arithmétique de ces problèmes parfois même insuffisante puisque, aussi paradoxal que cela puisse paraître, la répartition des nombres premiers est intimement liée à l'analyse via la fonction zêta de Riemann.

C'est la raison pour laquelle cet ouvrage présente une réflexion assez détaillée concernant l'algèbre, l'analyse et l'arithmétique qu'il est possible d'exposer à des élèves de Spéciales curieux d'en savoir un peu plus que le programme l'exige, mais aussi à des candidats aux concours du Capes ou de l'Agrégation qui pourront y trouver matière à des leçons d'oral, l'ensemble étant articulé autour des cinq chapitres suivants :

• Algèbre des anneaux euclidiens ; cas particulier des entiers,


• Algèbre et arithmétique associées à l'anneau des entiers et à ses quotients algébriques ; loi de réciprocité quadratique,


• Les entiers cyclotomiques,


• Tests de primalité et algorithmes de factorisation primaire,


• Fonctions arithmétiques usuelles ; nombres de Fermat, Mersenne, Carmichael, Chernick, Knodel, Cunningham, Sierpinski..., nombres parfaits et théorème d'Euler ; théorème des quatre carrés de Lagrange et conjectures arithmétiques célèbres à savoir celles de Goldbach, Dickson, Polignac, Giuga, Riemann, Ore, ... et celles concernant les nombres premiers jumeaux ainsi que les premiers de Sophie Germain qui ne sont que des cas particuliers de celle de Dickson.