La géométrie élémentaire d'Euclide à aujourd'hui

La géométrie classique à la manière d'Euclide telle qu'on l'enseignait autrefois est un jardin de délices. De nombreux mathématiciens et mathématiciennes vous diront qu'ils ont été attirés vers ce métier par le plaisir qu'ils ont connu à résoudre des exercices de géométrie, à dénouer des figures, raisonner et démontrer. Une fois installés dans les niches de leurs spécialités, ils reviendront toujours, seuls ou en compagnie de leurs enfants, à leurs amours de jeunesse pour y trouver réconfort, consolation et satisfaction.

L'auteur du présent ouvrage n'échappe pas à cette règle. Mais il va plus loin pour décortiquer cette passion, et remonte à cet effet jusqu'aux éléments d'Euclide, traversant ensuite les siècles pour mettre en évidence les apports de toutes sortes qui se sont ajoutés depuis à la discipline, et en particulier la révolution cartésienne, quand le calcul algébrique a fait son intrusion salvatrice et assassine à la fois. Yves Coudène le dit dans sa préface : « D'Euclide à Poincaré en passant par Descartes, la géométrie s'est faite tour à tour synthétique, cartésienne, différentielle ou structurelle. Le rôle qu'elle joue dans le système éducatif en a fait un sujet de querelles idéologiques, et une époque malheureuse a voulu opposer les méthodes que nous ont léguées les Anciens à celles promues par les Modernes. »

Il va sans dire qu'il fallait s'imposer dans cet ouvrage qui ne se veut aucunement encyclopédique quelques restrictions, en ne considérant que les objets géométriques les plus élémentaires que sont la droite, le cercle et les polygones du plan. On ne trouvera donc que peu de choses sur Apollonius et ses coniques et presque rien sur la géométrie circulaire et les inversions. On y opère cependant des incursions vers des domaines plus avancés en lien avec les géométries non euclidiennes et avec d'autres domaines des mathématiques comme l'analyse et la topologie. L'auteur nous livre dans la dernière partie du livre une version polygonale particulièrement brillante du théorème de Jordan.

Après un détour par quelques problèmes destinés à affûter l'esprit des lecteurs, l'ouvrage s'achève par des résultats récents de géométrie élémentaire dans la tradition d'Euclide, ainsi que par quelques problèmes ouverts ou en cours de résolution. On ne s'étonnera point de constater, contrairement à certaines idées reçues, que la recherche dans ce domaine est toujours bien vivante et qu'elle réunit avec bonheur mathématiciens amateurs et professionnels.

Ce joli ouvrage fera le bonheur de beaucoup de mathématiciens confirmés comme de mathématiciens en herbe. Il s'adresse en priorité à tous ceux que la géométrie classique émeut ou fascine, et en particulier aux candidats aux concours du CAPES et de l'agrégation et à leurs professeurs, et aussi et sans doute à Euclide lui-même.