Algèbre et analyse linéaires

I - Algèbre linéaire

Équations linéaires.

Espace vectoriel. - Équations linéaires. - Déterminants. - Résolution explicite des équations linéaires.

Espace euclidien, espace hermitique.

Algèbre des matrices et des formes.

Opérateurs linéaires. - Algèbre des matrices. - Formes associées à une matrice. - Spectre d'une matrice. -
Diagonalisation des matrices.

Algèbre tensorielle. Algèbre extérieure.

L'espace euclidien rapporté à une base quelconque. - Algèbre tensorielle. - Algèbre extérieure.

II - Analyse linéaire

Formes différentielles extérieures. Intégrales multiples. Formule de Stokes.

Variété continuement différentiable. - Formes différentielles extérieures. - Différentielles extérieures d'une
forme. - Les opérateurs gradient, rotationnel, divergence. - Intégration des formes différentielles extérieures. -
Formule de Stokes.

Développements en séries de fonctions arbitraires.

Les espaces vectoriels de fonctions. - Systèmes orthogonaux de fonctions. - La distance en moyenne. - Systèmes
orthonormés complets. - Cas de l'espace de Hilbert. - Exemples de systèmes de fonctions. - Intégrale de Fourier.
- Séries de Fourier.

Notions sur les opérateurs linéaires fonctionnels.

Définitions et propriétés générales. - Continuité des opérateurs linéaires. - Représentation analytique des
opérateurs bornés. - Spectre des opérateurs fonctionnels.

Équations intégrales.

Généralités sur les équations intégrales. - Les équations intégrales à noyaux dégénérés. - Le noyau résolvant. -
Le théorème de Fredholm. - Les équations intégrales à noyaux symétriques.