Discrete geometry and isotropic surfaces

Nous considérons des immersions lisses et isotropes du tore de dimension 2 vers R²ⁿ, pour n≥ 2. Quand n = 2 l'image d'une telle application est un tore lagrangien immergé de R⁴. Nous démontrons que de telles immersions isotropes peuvent être approximées au sens C⁰, par des applications linéaires par morceaux et isotropes arbitrairement proches. Si n≥ 3, il est possible des choisir des applications linéaires par morceaux qui sont de plus des immersions.

Les démonstrations reposent sur des analogies avec une géométrie et une application moment en dimension infinie introduites par Donaldson. Nous en déduisons un flot en dimension finie, dont les limites, du point de vue expérimental, produisent de nombreux exemples de tores lagrangiens linéraires par morceaux de R⁴. Le programme libre DMMF, basé sur la méthode d'Euler, montre l'équation d'évolution sous forme de film.

We consider smooth isotropic immersions from the 2-dimensional torus into R²ⁿ, for n≥ 2. When n = 2 the image of such map is an immersed Lagrangian torus of R⁴. We prove that such isotropic immersions can be approximated by arbitrarily C⁰ -close piecewise linear isotropic maps. If n≥ 3 the piecewise linear isotropic maps can be chosen so that they are piecewise linear isotropic immersions as well.

The proofs are obtained using analogies with an infinite dimensional moment map geometry due to Donaldson. As a byproduct of these considerations, we introduce a numerical flow in finite dimension, whose limits provide, from an experimental perspective, many examples of piecewise linear Lagrangian tori in R⁴. The DMMF program, which is freely available, is based on the Euler method and shows the evolution equation of discrete surfaces in real time, as a movie.